Отображения (функции). Пусть %%f%% — отображение множества %%X%% в множество %%Y%% Рис.2. Отображение Рис.1.3.Отношение, не являющееся

Отображения (функции)

Функции играют центральную роль в математике, где они используются для описания любых процессов, при которых элементы одного множества каким-то образом переходят в элементы другого. Такие преобразования элементов - фундаментальная идея, имеющая первостепенное значение для всех вычислительных процессов.

Определение. Отношение f на AB называется отображением (функцией) из A в B, если для каждого xA существует один и только один yB. множество бинарный отношение эквивалентность

f: AB или y=f(x)

Множество A называется областью определения. Множество B - областью значений.

Если y=f(x), то x называют аргументом , а y - значением функции.

Пусть f: AB, тогда

множество определения функции:

множество значений функции:

Множество определения функции является подмножеством области определения, т.е. Dom f A, а множество значений функции является подмножеством области значений функции, т.е. Im f B. Если, то функция называется тотальной, а если частичной функцией. Так диаграмма Венна служит удобной иллюстрацией функции, определенной на множестве A со значениями в множестве B.

Способы задания функции:

1) Словесный.
2) Аналитический.
3) С помощью графика, рисунка.
4) С помощью таблиц.

Определение. Если MA, то множество f(M)=y f(x)=y для некоторого x из M называется образом множества M.

Если KB, то множество f -1 (K)=x f(x)K называется прообразом множества K.

Определение Функция называется функцией n аргументов, или n-местной функцией. Такая функция отображает кортеж в элемент bB, .

Свойства отображений (функций).

1) Отображение f: AB называется инъективным , если оно различные элементы из A отображает в различные элементы из B: .

Это свойство можно показать с помощью диаграмм Венна.

2) Отображение f: AB называется сюръективным или отображением на все мно-жество B, если в каждый элемент множества B отображается хотя бы один элемент из A: .

Это свойство тоже можно показать с помощью диаграмм Венна.

3) Отображение f: AB, которое одновременно инъективно и сюръективно, называется биективным или взаимно однозначным отображением множества A на множество B.

Пример. Пусть дано отображение f: RR, которое определено таким образом, что. Выяснить, какими свойствами обладает это отображение.

Решение. Функция f не является инъективной, т.к. f (2)=f (2), но 2 2.

Функция f не является также и сюръективной, поскольку не существует такого действительного числа x, для которого f (x)= 1.

Определение. Пусть f биективное отображение множества A в множество B. Если поставить в соответствие каждому элементу из B связанный с ним элемент из A, то такое соответствие является отображением B в A. Это отображение обозначается и называется отображением, обратным отображению f.

Обратное отображение обладает некоторыми свойствами, которые сформулируем в следующей теореме.

Теорема 3. Если f: AB - биекция, то

1) для любого y из B;

2) для любого x из A.

Доказательство. 1) Пусть yB и. Тогда f(x)=y. Но поскольку

2) Аналогично доказывается, что для любого x из A.

Определение. Композицией (суперпозицией, произведением) отображений f: AB и g: BC называется отображение h: , которое записывается h=g f.

Такой способ записи суперпозиции функций объясняется тем, что обозначение функции принято писать слева от списка аргументов:

Отображение %%f%% называется инъективным ,

если для любых элементов %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, следует, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Другими словами, отображение %%f%% инъективно, если образы различных элементов из %%X%% также различны.

Пример

Функция %%f(x) = x^2%%, определенная на множестве %%\mathbb{R}%%, не является инъективной, так как при %%x_1 = -1, x_2 = 1%% получаем одно и тоже значение функции %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Сюръективное отображение

Отображение %%f%% называется сюръективным , если для всякого элемента %%y \in Y%% существует элемент %%x \in X%% с условием, что %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$

Другими словами, отображение %%f%% сюръективно, если каждый элемент %%y \in Y%% является образом хотя бы одного элемента %%x \in X%%.

Пример

Отображение %%f(x) = \sin(x)%%, определенное на множестве %%\mathbb R%%, с множеством %%Y = [-2,2]%% не является сюръективным, т.к. для элемента %%y = 2 \in Y%% нельзя найти прообраз %%x \in X%%.

Биективное отображение

Отображение %%f%% называется биективным , если оно инъективно и сюръективно. Биективное отображение также называется взаимно однозначным или преобразованием .

Обычно, словосочетания «инъективное отображение», «сюрьективное отображение» и «биективно отображение» заменяют на «инъекция», «сюръекция» и «биекция» соответственно.

Обратное отображение

Пусть %%f: X \to Y%% — некоторая биекция и пусть %%y \in Y%%. Обозначим через %%f^{-1}(y)%% единственный элемент %%x \in X%% такой, что %%f(x) = y%%. Тем самым мы определим некоторое новое отображение %%g: Y \to X%%, которое снова является биекцией. Ее называют обратным отображением .

Пример

Пусть %%X, Y = \mathbb R%% — множество действительных чисел. Функция %%f%% задана формулой %%y = 3x + 3%%. Имеет ли данная функция обратную? Если да, то какую?

Для того чтобы узнать имеет ли данная функция обратную ей, необходимо проверить является ли она биекцией . Для этого проверим является ли данное отображение инъективным и сюръективным .

Проверим инъекцию. Пусть %%x_1 \neq x_2%%. Проверим, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, то есть %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Предположим противное, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Тогда получается, что %%x_1 = x_2%%. Получили противоречие, т.к. %%x_1 \neq x_2%%. Следовательно, %%f%% — инъекция.
Проверим сюръекцию . Пусть %%y \in Y = \mathbb{R}%%. Найдем элемент %%x \in X = \mathbb{R}%% c условием, что %%f(x) = y%%, то есть %%3x + 3 = y%%. В данном равенстве задан элемент %%y \in \mathbb{R}%% и нужно найти элемент %%x%%. Очевидно, что $$ x = \frac{y-3}{3} \text{ и } x \in \mathbb R $$ Следовательно, отображение %%f%% сюръективно.

Так как %%f%% — инъекция и сюръекция, то %%f%% — биекция. И, соответственно, обратным отображением является %%x = \frac{y-3}{3}%%.

Большую роль в математике имеет установление связей между двумя множествами и , связанное с рассмотрением пар объектов, образованных из элементов первого множества и соответствующих элементов второго множества. Особое значение при этом имеет отображение множеств.

Пусть - произвольные множества. Отображением множества X в множество Y называется всякое правило f , по которому каждому элементу множества сопоставляется вполне определенный (единственный) элемент множества .

Тот факт, что f есть отображение , кратко записывают в виде: .

Применяют также обозначение . Чаще отображения обозначают буквами f , q , F .

Итак, чтобы задать отображение множества Х в множество , надо каждому элементу поставить в соответствие один и только один элемент .

Если при этом элементу х из Х сопоставлен элемент из Y , то называют образом элементах , а х – прообразом элемента при отображении , что записывается в виде .

Из определения отображения следует, что у каждого элемента из Х образ единственный, однако для элемента прообразов может быть много, а может и вообще не быть. Множество всех прообразов элемента называется его полным прообразом и обозначается через . Таким образом, .

Естественным путем определяются образ подмножества из А и прообраз подмножества из В при отображении :

Например , пусть и - отображение А в А , сопоставляющее каждому элементу а из А остаток от деления а на число 4. Тогда имеем:

В зависимости от свойств, образов и прообразов различают отображения сюръективные, инъективные и биективные.

Отображение называется сюръективным , если , т.е. каждый элемент из отображается хотя бы один элемент из Х , или при любом .

Отображение называется инъективным , если разные элементы множества Х отображаются в разные элементы множества т.е. , или является либо пустым, либо одноэлементным множеством при любом . Инъективные отображения называются также вложениями .

Отображение называется биективным , или взаимно однозначным отображением на , если оно сюръективно и инъективно, т.е. если есть одноэлементное множество при любом . В этом случае можно определить отображения , положив для любого : . Оно называетсяобратным к и обозначается в виде .

Изобразим для наглядности виды отображений.

Сюръективное Инъективное Биективное

Рисунок 12

Отображение множества А в себя называется преобразованием множества А . Биективное преобразование множества А называется подстановкой множества А .

Примером подстановки множества целых чисел может служить отображение , определенное равенством .

Заметим еще, что отображение множества А в В называют также функцией , заданной на множестве А со значениями в множестве В . При этом элемент называют значением функции точке а . Само множество А называют областью определения функции , а множество - областью значений функции .

Функцию зачастую трактуют как переменную величину , принимающую значения из В и так зависящую от переменной величины х , принимающей значения из А , что каждому значению а переменной величины х соответствует вполне определенное значение величины . При этом пишут и вместо «функция » говорят «функция ».

Рассмотрим различные отображения и определим их виды .

1) Пусть Х – множество окружностей на плоскости. Сопоставляя каждой окружности ее центр, получим отображение Х на . Это отображение не является инъективным, поскольку одна и та же точка может быть центром бесконечного множества окружностей. Но оно сюръективно, так как любая точка – центр некоторой окружности. Поэтому обратное соответствие всюду определено, сюръективно, но не функционально.

2) Соответствие является числовой функцией заданной на всем множестве действительных чисел. Множеством значений этой функции является совокупность неотрицательных чисел. Так как , то функция не сюръективна. Она и не инъективна, так как . Поэтому она не имеет обратной функции.

3) Отображение сюръективно и инъективно: для любого есть одно и только одно число такое, что . Этим числом является .

4) Отображение ( - множество неотрицательных чисел) множества в себя всюду определено, инъективно, но не сюръективно. Действительно, для дроби , выполнено .

Поэтому множеством значений этой функции является промежуток . Обратная функция определена на этом промежутке и принимает неотрицательные значения.

5) Отображение , определенное правилом является инъективным отображением. Оно не является биективным, поскольку . Однако, если таким же образом определить отображение в , то получим биективное отображение. . ; из сюръективности следует сюръективность лишь , а из инъективности следует инъективность лишь .

3. Если и - преобразования множества А , то их композиция также является преобразованием множества А .

Пусть заданы два множества X и У. Определение 2.1. Отображением f множества X в множество У, или функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве У, называют соответствие, которое каждому элементу х£Х соотносит некоторый единственный элемент у € У. Множество X называют областью определенил функции / и обозначают D(f), элемент хбХ - аргументом функции, а элемент у £ У - зависшим* перелсенныл. При этом элемент у £ У, соответствующий элементу z £ X, именуют образом элемента х при отображении / или значением функции f в точке х и обозначают f(x). Областью значений функции / (или образом множества X при отображении /) называют множество обозначаемое Д(/). Множество X = D(f) является прообразом множества f(X) = R(f) при отображении /. При заданном элементе у £ У совокупность всех таких элементов х 6 Xу что f(x) = у, называют прообразом элемента у и обозначают /-1(у), т.е. Факту задания отображения (или функции) соответствует запись / : X У, или /: х у, или просто у = /(я). Таким образом, Часто функцию / обозначают /(ж). Обозначение функции и ее значения в точке х € X одним и тем же символом f(x) обычно не вызывает недоразумений, поскольку в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение f(x) часто удобнее, чем f:x-+y. Например, -при аналитических преобразованиях запись f(x) = х2 удобнее по сравнению с / : х -> х2. Чтобы отличать обозначение конкретного значения f(x) функции при конкретном значении ее аргумента х от обозначения самой функции, в последнем случае иногда пишут /(я), х еХ. Итак, понятие функции состоит из трех неотъемлемых частей: 1) области определения Х\ 2) множества У, содержащего значения функции; 3) правила /, которое для каждого элемента х £ X задает единственный элемент у = f(x) £ У. На множества X и Y определение 2.1 не накладывает никаких ограничений. В зависимости от того, какими являются эти множества, получим тот или иной класс функций. Так, если Y С R, то f(x) называют действительной (или скалярной) функцией, а если У С Rn, то f(x) называют векторной функцией. Когда область определения X функции f(x) есть множество R или некоторое его подмножество, f(x) именуют функцией действительного (или вещественного) переменного. Когда и XCR.h У CR, f(x) называют действительной функцией действительного переменного. Если областью определения функции является множество натуральных чисел N= {1, 2, ...}, то ее называют последовательностью элементов множества У и обозначают Уп] или {уп}, имея в виду, что уп = /п = /(п)€У при n€ N, а при У С R - числовой последовательностью (или просто последовательностью). Подмножество является образом подмножества А С X при отображении / : X У. Для образов подмножеств Л С X и В С X справедливы соотношения а в случае Л С В Подмножество будет прообразом подмножества S С У при отображении f:X->Y. Итак, прообраз множества 5 состоит из всех тех элементов х € Xу которые функция / отображает в элементы из S, или, что то же самое, прообраз множества 5 состоит из всех прообразов элементов у G 5, т.е. Для прообразов множеств 5 С У и Г С У справедливы соотношения, и при условии S СТ /-1(S) С /-1(Г). В случае А С X отображение / : X порождает отображение /д: А Y) определяемое формулой /а(«) = f(x) для х € А. Это отображение называют сужением отображения (функции) f на множество А. Говорят также, что f является продолжением отображения (функции) fA множества А в множество Y на множество X, но обычно продолжают писать / вместо